Qu'est-ce que raisonnement par récurrence ?

Le raisonnement par récurrence est une méthode de démonstration utilisée en mathématiques pour prouver qu'une propriété est vraie pour tous les entiers naturels à partir d'un certain point de départ.

Elle se fonde sur deux étapes :

• une initialisation: on prouve que la propriété est vraie pour le premier entier.
• une récurrence: on suppose que la propriété est vraie pour tous les entiers jusqu'à un certain rang n, puis on en déduit que la propriété est vraie pour l'entier n+1.

Concrètement, pour démontrer par récurrence qu'une propriété P est vraie pour tout n, on procède comme suit :

1. Initialisation : On vérifie que P est vraie pour n=0 (ou n=1 selon les cas).
2. Récurrence : On suppose que P est vraie pour un certain entier k.
3. Hérédité : On démontre que si P est vraie pour k, alors P est vraie également pour k+1. En d'autres termes, on démontre l'implication : Si P(k) est vraie alors P(k+1) est vraie.
4. Conclusion : On peut alors affirmer que P est vraie pour tout entier naturel à partir de n=0 (ou n=1 selon les cas).

Le raisonnement par récurrence est largement utilisé en arithmétique, en analyse, en combinatoire et en informatique. Il permet de démontrer de nombreuses formules et propriétés mathématiques.